В интернет-банке АльфаБанка можно выпустить виртуальную карту.
В общем, я почти решил проблему
При оформлении кредитной карты я отказался от услуги альфа-чек (СМС-уведомления), а зря... Дело в том, что для осуществления оплаты в этом и многих других интернет-магазинах, нужна поддержка стандарта 3D-secure, который подразумевает смс-авторизацию каждого платежа. В общем, я подключил Альфа-чек (благо это можно сделать прям в интернет-банке), и с лёгкостью осуществил платеж.